laravelでの非同期処理(ajax)のエラー解消

【教えてもらいたいこと】
プログラミング/サーバーサイド, Laravel, JavaScript

【利用目的】
技術的な質問・相談, コードレビュー

【具体的な相談内容】
【行いたいこと】
該当ボタン押下でルーティング先の’/update’へ移行しcontroller記載の処理(該当DBのカラムを0→1に変更)。通信成功時該当ボタンを非活性に文字も変える

【エラー内容】
ajax記述のurlを’update’にすると405エラー。
update/にすると500エラー。
/updateにすると404エラー(そもそもURL自体も正しくない)。
上記URLを変更試しても他のエラーがでます。
エラー内容に関してはある程度調べても解決しないためご相談したいです。

そもそも行いたい処理のajaxの記述自体も誤りがあるためそこも含めてご対応いただきたいです。

【希望相談スタイル】
ビデオ通話

【目安予算】
10000円