Shopifyでは「Cart attributes」を使用して、配送時間指定をアプリを使わずに実装することができます。
しかし、オンラインストア2.0に以降し、標準テーマがDawnになったことで、以前のDebutで出来ていた実装方法では一部対応できないポイントがあります。

ですが、ちゃんと解決方法を提示してくれている参考記事がありましたので、この記事を見れば分かるよという情報提供です。

1.Cart attributesについて

カートページに配送時間指定のインプットフィールドを設置するために、まずは「Cart attributes」について知る必要があります。

Shopify公式の記事が参考になります。

Shopifyテーマカスタマイズの三種の神器:Cart attributes、Line Item Property、Customer noteを使いこなそう!

2.Debutでの実装方法について

95%くらいはDebutでの実装方法がベースですので、こちらをご覧ください。

[Shopify] 配送時間指定を無料で実装する(Debutテーマ)

3.Dawn対応

あとはDawnに対応するだけです。
以下サイトのベストソリューション通りにやるとOKです。

Shopifyテーマ「Dawn」に配送日時のコードを入れたい

以上です。
もし分からないことがあれば気軽にご質問ください。
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